十天学群论 Day 3：从正交关系到量子选择定则

讲义第 2.7–2.14 节，PDF 85–141 页：有限群表示论的计算核心，以及它怎样压缩量子力学中的能级、微扰和跃迁问题。

0. 今日知识地图

今天把“不可约表示是基本单元”从一句原则变成可计算的方法。Schur 引理控制与群作用相容的算符；大正交定理把不可约表示矩阵元变成群函数空间中的正交基；特征标抹掉基的选择，只保留表示的等价类；正则表示保证所有不可约表示都会出现；直积和 C-G 系数处理复合系统；诱导表示在子群与大群之间搬运信息；Wigner-Eckart 定理把动力学矩阵元拆成群论系数与少数约化矩阵元；投影算符最后把任意试探函数筛成不可约基。

\text{Schur} \Rightarrow \text{正交与特征标} \Rightarrow \text{约化} \Rightarrow \text{C-G / Wigner--Eckart} \Rightarrow \text{能级与选择定则}.

1. Schur 引理：不可约块内部没有多余结构

若 \(D(G)\) 是复线性空间上的不可约表示，矩阵 \(M\) 与所有 \(D(g)\) 对易，则 Schur 引理 I 断言

MD(g)=D(g)M\quad(\forall g\in G) \qquad\Longrightarrow\qquad M=\lambda I.

证明的 picture 是：\(M\) 的任一本征子空间都会因对易关系而在群作用下保持不变；不可约性不允许非平凡不变子空间，所以整个表示空间只能对应同一个本征值。物理上，如果一组态构成完整的不可约多重态，那么任何尊重全部对称性的可观测量，在这个多重态内部只能是常数。因此同一不可约多重态中的态具有相同能量，或受到相同的对称微扰平移。

Schur 引理 II 处理两个不可约表示之间的交织映射。若

D^{(i)}(g)M=MD^{(j)}(g)\quad(\forall g\in G),

则非零 \(M\) 迫使两表示等价且 \(M\) 可逆；若两表示不等价，则 \(M=0\)。这条“相同块之间才可能耦合”的规则，稍后直接变成微扰矩阵的分块结构和跃迁选择定则。

2. 大正交定理：矩阵元是群上的傅里叶模态

设有限群阶为 \(n\)，\(D^{(i)}\)、\(D^{(j)}\) 是维数分别为 \(m_i\)、\(m_j\) 的不等价不可约幺正表示。其矩阵元满足第一正交关系

\sum_{g\in G} D^{(i)}_{\mu\rho}(g)\, \overline{D^{(j)}_{\nu\lambda}(g)} =\frac{n}{m_i}\, \delta_{ij}\delta_{\mu\nu}\delta_{\rho\lambda}.

固定表示标签和矩阵指标后，\(D^{(i)}_{\mu\rho}(g)\) 是群变量 \(g\) 的函数。上式说这些函数彼此正交，恰如圆上的指数函数或空间中的球谐函数。有限群表示论因此是一种离散的群傅里叶分析。

正则表示的分解给出 Burnside 公式

\sum_i m_i^2=n.

左边正是全部不可约矩阵元函数的个数，右边是群函数空间的维数，所以正交函数组同时完备。第一正交关系控制“不同模态互不混合”，第二正交关系则表达“这些模态足以重建任意群函数”。

3. 特征标：不选基也能完成约化

表示的特征标定义为 \(\chi(g)=\operatorname{Tr}D(g)\)。迹在相似变换下不变，所以特征标只依赖表示的等价类；同一共轭类中的群元也有相同特征标。因此特征标本质上是类函数。

不等价不可约表示的特征标满足

\sum_{g\in G}\chi^{(i)}(g)\overline{\chi^{(j)}(g)} =n\delta_{ij}.

若可约表示的特征标为 \(\chi\)，其中不可约表示 \(D^{(j)}\) 出现 \(a_j\) 次，则

a_j=\frac1n\sum_{g\in G} \overline{\chi^{(j)}(g)}\chi(g).

这就是表示论的频谱分析公式：\(\chi\) 是总信号，\(\chi^{(j)}\) 是正交基，内积抽出第 \(j\) 个频率的重复度。由此得到两个实用判据：两表示等价当且仅当特征标逐元素相同；表示不可约当且仅当

\sum_{g\in G}|\chi(g)|^2=n.

不可约特征标的个数等于共轭类数。换言之，群的“类结构”与其“基本线性振动模式”数目完全吻合。

4. 正则表示：一张装下全部不可约表示的总谱

左正则表示 \(L(g)x=gx\) 的特征标极其简单：单位元的迹为 \(n\)，非单位元的迹为 \(0\)。代入重复度公式得到

\mathbb C[G]\simeq\bigoplus_j m_jD^{(j)}.

每个不可约表示 \(D^{(j)}\) 出现的次数恰好等于它的维数 \(m_j\)。因此正则表示像一张群的完整光谱：任何不可约类型都不缺席。把正则表示完全约化，等价于在群代数中寻找最小左理想；幂等元则是投影到这些理想的代数装置。

5. 直积表示与 C-G 系数

若两个子系统分别按 \(D^{(j)}\) 与 \(D^{(k)}\) 变换，复合系统的态空间是张量积，群作用为

D^{(j\otimes k)}(g)=D^{(j)}(g)\otimes D^{(k)}(g), \qquad \chi^{(j\otimes k)}(g)=\chi^{(j)}(g)\chi^{(k)}(g).

直积表示通常可约。将“未耦合基” \(|j\mu\rangle\otimes|k\nu\rangle\) 组合成“总对称性基” \(|Jr\rho\rangle\) 的酉换基矩阵，就是 Clebsch-Gordan 矩阵：

|Jr\rho\rangle= \sum_{\mu,\nu}C^{jk}_{\mu\nu,Jr\rho} |j\mu\rangle\otimes|k\nu\rangle.

物理 picture 是“两个局部量子数怎样耦合成总量子数”。氦原子的两个电子、两个角动量、同位旋多重态的复合，都由同一换基问题控制。群不变量出现的条件，是一个表示与另一个表示的对偶相配，使直积中包含平凡表示；有限群的幺正情形可说成 \(D^{(i)}\otimes\overline{D^{(i)}}\) 恰含一次平凡表示。

6. 分导与诱导表示：在子群和大群之间往返

把大群 \(G\) 的表示只看在子群 \(H\) 上，得到分导表示；它往往分裂成更多的 \(H\) 不可约块。反方向，给定 \(H\) 的表示，可利用陪集 \(G=\bigcup_\alpha k_\alpha H\) 扩张表示空间，构造 \(G\) 的诱导表示。

若 \(B(H)\) 的维数为 \(d\)，子群指数为 \([G:H]=r\)，诱导表示的维数就是 \(rd\)。其矩阵分块由

U^{B}(g)_{\alpha\nu,\beta\mu} =B(k_\alpha^{-1}gk_\beta)_{\nu\mu}

给出；当括号内元素不在 \(H\) 时相应分块取零。Frobenius 互易定理说明，大群不可约表示 \(A\) 在 \(\operatorname{Ind}_H^G B\) 中出现几次，恰等于 \(B\) 在 \(A\) 限制到 \(H\) 后出现几次。它把“从局部对称造全局态”和“把全局态按局部对称拆分”精确配对。

7. Wigner-Eckart 定理：几何系数与动力学分家

一组算符 \(T^{(j)}_\mu\) 若在群作用下按不可约表示 \(D^{(j)}\) 相互混合，称为不可约算符：

P(g)T^{(j)}_\mu P(g)^{-1} =\sum_\lambda T^{(j)}_\lambda D^{(j)}_{\lambda\mu}(g).

它作用在按 \(D^{(k)}\) 变换的态上时，所得向量按直积 \(D^{(j)}\otimes D^{(k)}\) 变换。Wigner-Eckart 定理于是把矩阵元写成

\langle k'\nu'|T^{(j)}_\mu|k\nu\rangle =\sum_r C^{jk}_{\mu\nu,k'r\nu'} \langle k'\|T^{(j)}\|k;r\rangle.

C-G 系数只由群决定，约化矩阵元才包含具体相互作用。这是量子力学中极其省力的分工：先用对称性判断哪些矩阵元必为零、非零项的相对比例如何，再为少数独立的约化矩阵元做真正的动力学计算。

8. 物理主线：能级、微扰与选择定则

哈密顿量的本征子空间承载其对称群的表示，完全对称群下的定态可按不可约表示分类。若某个不可约表示维数大于 \(1\)，同一多重态内必有简并。所谓“偶然简并”通常意味着还没有找全对称群，例如库仑势的 \(SO(3)\) 之外还隐藏着 Runge-Lenz 向量生成的更大对称性。

若微扰 \(H'\) 保持原对称群 \(G\)，Schur 引理给出不可约多重态内部

\langle j\alpha|H'|j\beta\rangle=c_j\delta_{\alpha\beta},

所以整组能级只能共同平移，简并不被劈裂。若微扰只保持子群 \(G'\subset G\)，原来 \(G\) 的不可约表示限制到 \(G'\) 后可能可约；能级就按这些 \(G'\) 不可约块分裂。对称性降低不是一句定性描述，而是一个明确的分导表示约化问题。

跃迁概率含矩阵元 \(\langle a|V|b\rangle\)。若 \(V\) 是 \(G\) 的不可约算符，只有当末态表示出现在“算符表示与初态表示”的直积分解中时，矩阵元才可能非零：

D^{(a)}\subset D^{(V)}\otimes D^{(b)}.

这就是选择定则。C-G 系数还给出允许通道间的振幅比例，平方后产生分支比。对称性因此能在不求完整波函数的情况下，直接预测谱线缺失、简并劈裂和散射道强度。

9. 投影算符与不可约标准基

群代数中的不可约标准基像矩阵单位一样满足乘法规则。对任意表示空间 \(V\)，由不可约矩阵元构造广义投影算符

P^{(j)}_{\mu\nu} =\frac{m_j}{|G|}\sum_{g\in G} \overline{D^{(j)}_{\mu\nu}(g)}\,P(g),

并有

P^{(i)}_{\mu\rho}P^{(j)}_{\sigma\nu} =\delta_{ij}\delta_{\rho\sigma}P^{(i)}_{\mu\nu}.

固定 \(j,\nu\)，把 \(P^{(j)}_{\mu\nu}\) 作用到任意试探向量上，只要结果非零，就得到一整组按 \(D^{(j)}\) 变换的基。对角求和给出特征标投影算符

P^{(j)}=\frac{m_j}{|G|}\sum_{g\in G} \overline{\chi^{(j)}(g)}P(g), \qquad P^{(i)}P^{(j)}=\delta_{ij}P^{(i)}.

它像频率滤波器一样，从任意函数、轨道组合或分子振动试探向量中筛出指定对称类型。

10. 具体例子：对称微扰为什么不劈裂双重态

设二维不可约表示的正交基为 \(|1\rangle,|2\rangle\)，哈密顿量在这组态上给出简并能量 \(E_0\)。加入保持全部群对称的微扰 \(H'\)。因为 \(H'\) 与所有表示矩阵对易，Schur 引理迫使

H'\big|_{V}=\lambda I_2, \qquad H\big|_{V}= \begin{pmatrix}E_0+\lambda&0\\0&E_0+\lambda\end{pmatrix}.

两条能级一起移动但不分裂。若外场把对称性降到只有一维不可约表示的子群，原二维表示限制到子群后分成两个一维块，微扰矩阵可变为 \(\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2)\)，双重态便分裂。这正是晶场劈裂和 Zeeman 劈裂背后的群论骨架。

11. 当日总结与跨章联系

Day 2 建立了表示空间，Day 3 给出了表示空间的“谱分解术”。Schur 引理说明不可约块内部的对称算符只能是常数；正交关系与特征标识别每种不可约成分；C-G 系数把复合自由度换到总对称性基；Wigner-Eckart 定理把群论和动力学分离；投影算符则把这些结论变成构造不可约基的算法。

向后看，Day 4 会把有限群求和替换为李群的局域微分结构。对紧致李群，今天的正交、特征标、投影和 Wigner-Eckart 思想仍可由不变积分保留；对 \(SO(3)\) 与 \(SU(2)\)，C-G 系数会成为角动量耦合系数，投影出的不可约函数会成为球谐函数。今天是整本讲义从抽象结构走向可预测物理的关键转折点。